¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas. La solución es el conjunto de valores que satisface todas las ecuaciones simultáneamente. Geométricamente, en un sistema 2×2 la solución es el punto de intersección de dos rectas.

¿Cuándo tiene solución única un sistema de ecuaciones?

Un sistema tiene solución única (sistema compatible determinado) cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Si el determinante es cero puede ser incompatible (sin solución) o compatible indeterminado (infinitas soluciones).

¿Qué es la regla de Cramer?

La regla de Cramer resuelve sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes. Para un sistema Ax = b, cada incógnita se calcula como el cociente entre el determinante de la matriz obtenida al sustituir la columna de esa incógnita por los términos independientes, dividido entre el determinante de la matriz de coeficientes.

¿Qué diferencia hay entre sistema compatible e incompatible?

Un sistema compatible tiene solución (puede ser determinado con una única solución, o indeterminado con infinitas). Un sistema incompatible no tiene ninguna solución porque las ecuaciones son contradictorias entre sí. Geométricamente corresponde a rectas paralelas que nunca se cortan.

Sistema de Ecuaciones

Resuelve sistemas 2×2 y 3×3 paso a paso con la regla de Cramer.

Ejemplos:

Método de resolución

Solución

Determinantes (Regla de Cramer)

Resolución paso a paso

Representación gráfica

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse por varios métodos. La regla de Cramer usa determinantes y es elegante para sistemas 2×2 y 3×3. La eliminación de Gauss es más general y escala bien a sistemas más grandes. La sustitución es intuitiva para sistemas pequeños.

Regla de Cramer para sistema 2×2

|A| = a₁b₂ − a₂b₁
x = |Ax| / |A|,   y = |Ay| / |A|

Tipos de sistemas

Compatible determinado — Una única solución (|A| ≠ 0)
Compatible indeterminado — Infinitas soluciones (rectas coincidentes)
Incompatible — Sin solución (rectas paralelas, |A| = 0)

Verificación de la solución

Una vez obtenida la solución, sustitúyela en cada ecuación del sistema. Si ambos lados son iguales en todas las ecuaciones, la solución es correcta. Esta calculadora realiza la verificación automáticamente.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo usar la regla de Cramer?

La regla de Cramer es eficiente para sistemas pequeños (2×2 y 3×3) con solución única. No funciona cuando el determinante principal es cero. Para sistemas grandes o con muchas incógnitas, la eliminación de Gauss o la factorización LU son más eficientes computacionalmente.

¿Qué significa que el determinante sea cero?

Si |A| = 0, el sistema no tiene solución única. Puede ser incompatible (sin solución) o compatible indeterminado (infinitas soluciones). Para distinguir los casos hay que analizar los determinantes de las matrices ampliadas con los términos independientes.

¿Cómo se resuelve por el método de sustitución?

En el método de sustitución: (1) despejas una incógnita en una de las ecuaciones, (2) sustituyes esa expresión en la otra ecuación para obtener una ecuación con una sola incógnita, (3) resuelves esa ecuación, (4) sustituyes el valor obtenido para hallar la otra incógnita.

¿Y el método de reducción o igualación?

En el método de reducción se multiplican las ecuaciones por constantes para que al sumarlas se elimine una incógnita. En el de igualación se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes. Todos los métodos conducen al mismo resultado.